Развлечемся с Эйфелевой башней?

- Что такое: большое, как Эйфелева башня, а не весит ни грамма?
- Тень от Эйфелевой башни.
(шуточный вопрос)

Когда я попался на эту старую штуку я подумал: "Черт, возьми! Неужели тень от башни действительно ничего не весит?"
Формально, оно, конечно так. Невозможно взвесить тень. Однако, если бы мы "положили" тень на сверхточные весы, что бы мы получили в итоге? Качнулась бы стрелка весов? Возможно.

Пожалуй, стоит начать с того, что все предметы освещенные солнцем испытывают на себе давление солнечного света. Значит, в том месте, куда солнечный свет не попадает, давление он не оказывает. Т.е., если бы на одну чашу весов мы "положили" бы тень от башни, а на другую такую-же (естественно освещенную солнцем) не "положили", то стрелка должна была бы сдвинуться в сторону освещенной чаши, говоря о том, что тень "весит" минус сколько-то. Итак, сколько же?

Максвелл вычислил, а Лебедев подтвердил, что на земле давление солнечного света равно всего лишь 4,7*10^-6 Н/м², но эта величина справедлива для света падающего перпендикулярно на идеально отражающую поверхность.

Если же солнце находится на высоте α (от 0° - у горизонта до 90° - в зените), то силу действующую в направлении нормали (собственно силу давления на весы) мы легко вычислим по формуле: F_n=F*sin(α)

Теперь для конкретики нам придется определиться с положением солнца. Поэтому, давайте решим для себя, что мы "взвешиваем" тень от Эйфелевой башни 01.07.2010 в 12:00 по местному времени.

Итак, для этого времени (и места) легко узнать положение солнца над горизонтом при помощи Excel-калькулятора (на самом деле можно было воспользоваться online-калькулятором, но он не учитывает переход на летнее время, поэтому для него вы должны будете сделать корректировку времени на час назад).

Введя координаты (Википедия дает нам следующие данные: 48°51'29''с.ш. / 2°17'40''в.д. или в дробных градусах 48.858056°с.ш. / 2.294444°в.д.) и время мы получим:

Sun's Azimuth	-51,59930886°	-51°35'58''
True (Celestial) Altitude of sun	55,73861046°	55°44'19''
Apparent (Refracted) Altitude of sun	55,75011692°	55°45'00''

Где Sun's Azimuth это направление на солнце (величина показывает угол отклонения от направления на юг и, так как она отрицательная, то это отклонение в восточную сторону, т.е. если в это время стать лицом на север, то солнце будет светить в попу, приятно обогревая правое ухо).
А Altitude of sun это как раз и есть высота солнца над горизонтом. Причем True (Celestial) Altitude - действительная, а Apparent (Refracted) Altitude кажущаяся высота, которая отличается от действительной за счет того, что лучи света немного преломляются при входе в атмосферу. Несмотря на то, что разница небольшая, лучше будет взять кажущуюся высоту.

Итак, угол известен: 55,75011692°

Осталось вычислить площадь тени Эйфелевой башни. Как это сделать? Специально для этого я скачал ее трехмерную модель. Возможно, точности этой модели недостаточно, но в случае крайней необходимости можно будет создать или найти более точную модель. Пока же ограничимся этой.

Очистив сцену от ненужных декораций я получил вполне приличный результат:

Дальше, спозиционируем башню относительно сторон света так, как она установлена в реальности:

Теперь добавим параллельный источник света с нужными координатами (высота и азимут) и получим... Получим... Правильно! Тень от башни:

Пока нам нет никакой пользы от такой картинки, однако путем небольших манипуляций (скрываем саму башню, делаем плоскость белой и включаем ортогональную проекцию - вид сверху) мы можем получить то, что нам действительно может пригодиться:

Теперь используя этот рисунок несложно подсчитать какой процент площади зеленого прямоугольника занимает тень от башни на рисунке (назовем этот коэффициент sh). А вычислив реальную площадь такого же прямоугольника у настоящей башни, мы путем умножения на коэффициент, узнаем реальную площадь, которую занимает тень.

Итак, несложная программка, считающая черные точки выдала коэффициент sh=0,38579 (естественно, я использовал картинку с большим разрешением, чем выкладываю в web).

Теперь о реальной площади прямоугольника. Согласно размерам башни ширина меньшей стороны прямоугольника будет равна 124,9 м. (ширина основания башни). И, раз уж так получилось, что башня почти "стоит лицом" к солнцу, то для упрощения будем считать что большая сторона прямоугольника равна сумме длин синего и желтого отрезков (там действительно не очень большой угол отклонения от стороны и погрешность будет невелика). Длина желтого отрезка равна половине ширины основания башни, а длина синего вычисляется по формуле: x=H*ctg α
Где H - высота башни, α - высота солнца над горизонтом.
Получаем, что x=221,28 м

Значит, площадь прямоугольника 221,28 * 124,9=27637,87 м²

Теперь применим коэффициент sh и получим, что площадь тени:
27637,87 м² * 0,38579 = 10662,41 м²

Теперь, когда мы знаем высоту солнца, по формуле F_n=F*sin(α) посчитаем силу действующую на каждый метр:
4,7*10^-6 Н/м² * sin(55,75011692°) = 3,88*10^-6 Н/м²

И умножим на площадь тени:
10662,41 * 3,88*10^-6 = 41,37*10^-3 Н/м²

Что равно силе с которой груз массой 4,22 грамма давит на плоскость.

Так, что шутник из эпиграфа к этому посту сильно ошибался. Тень от башни "весит" минус четыре грамма!

P.S.: Пост писался исключительно ради развлечения, так что в нем, естественно, могут быть ошибки или неточности. Если вы найдете таковые пишите, буду рад. Кстати, никто не знает лучшего метода вычисления площади тени башни?